Belajar Matematika Melalui Permainan
Hasil penelitian The Third International Mathematic and Science Study Repeat (TIMSS-R) pada tahun 1999 menyebutkan bahwa diantara 38 negara, prestasi siswa SMP Indonesia berada pada urutan 34 untuk matematika. Sementara hasil nilai matematika pada ujian Nasional, pada semua tingkat dan jenjang pendidikan selalu terpaku pada angka yang rendah. Keadaan ini sangat ironis dengan kedudukan dan peran matematika untuk pengembangan ilmu dan pengetahuan, mengingat matematika merupakan induk ilmu pengetahuan dan ternyata matematika hingga saat ini belum menjadi pelajaran yang difavoritkan.
Mata pelajaran matematika menurut pandangan belajar merupakan mata pelajaran yang ditakuti atau harus dijauhi. Sedang dalam kehidupan kita sehari-hari penuh dengan peristiwa-peristiwa yang ada kaitannya dengan ilmu pasti secara langsung dan tidak langsung. Bayangkan seorang pedagang memerlukan ilmu berhitung, petani memerlukan perhitungan cuaca dan musim, kita meloncati lubang memerlukan matematika yaitu pengetahuan tentang jarak, seorang buruh memerlukan perhitungan gaji, seorang majikan memerlukan data statistik, tukang kayu memerlukan pengetahuan gambar-gambar geometris dan sebagainya.
Peran Guru
Terkait dengan rasa apriori berlebihan terhadap matematika ditemukan beberapa penyebab fobia matematika diantaranya adalah yang mencakup penekanan berlebihan pada penghafalan semata, penekanan pada kecepatan atau berhitung, pengajaran otoriter, kurangnya variasi dalam proses belajar-mengajar matematika, dan penekanan berlebihan pada prestasi individu. Oleh sebab itu, untuk mengatasi hal ini, peran guru sangat penting. Karena begitu pentingnya peran guru dalam mengatasi fobia matematika, maka pengajaran matematika pun harus dirubah. Secara umum, tugas guru matematika adalah: pertama, bagaimana materi pelajaran itu diberikan kepada siswa sesuai dengan standar kurikulum. Kedua, bagaimana proses pembelajaran berlangsung dengan melibatkan peran siswa secara penuh dan aktif, dalam artian proses pembelajaran yang berlangsung dapat berjalan dengan menyenangkan. Merupakan tantangan bagi guru matematika untuk senantiasa berfikir dan bertindak kreatif di tengah kegelisahan dan keterpurukan nasib guru. Jika sebelumnya, pengajaran matematika terfokus pada hitungan aritmatika saja, maka saat ini, guru-guru harus meningkatkan kemampuan siswa dalam bernalar dengan menggunakan logika matematis. Salah satunya menggunakan permainan matematika dalam menyampaikan materi.
Peran Orang Tua
Dari aspek psikologi, menurut psikolog Alva Handayani, peranan orang tua pun dibutuhkan untuk mengatasi fobia matematika. Menurutnya, mengajar matematika bukan sekedar mengenal angka dan menghafalnya namun bagaimana anak memahami makna bermatematika.
Yang pertama dilakukan tentu mengubah persepsi matematika itu menjadi menyenangkan, orang tua juga mesti segera mengambil tindakan untuk membantu anak belajar matematika dengan cara menyenangkan. Caranya dengan memberi contoh kongkrit, bukan yang abstrak.
Dalam membantu anak belajar matematika dengan cara tadi, maka peran alat peraga menjadi sangat besar, terutama untuk anak SD. Tidak perlu yang mahal. Yang dibutuhkan kreativitas orang tua. Contoh, penggunaan daun kering untuk menghitung luas suatu bidang tertentu. Dengan daun sebesar ini, berapa daun yang dibutuhkan untuk menutupi bidang tertentu. Atau dengan menggunakan kendaraan yang lewat di depan rumah. Dalam jangka waktu tertentu ada berapa kendaraan lewat? Barepa kendaraan roda tiganya, dan berapa roda empatnya? Jam berikutnya, dihitung lagi. Kemudian dalam seminggu bisa dilihat perbedaannya. Lalu analisis, kenapa pada hari Senin dan jumat sangat ramai dan hari lain tidak terlalu. Itu semua logika matematika.
Dalam praktek, orang tua harus mengikuti pelajaran matematika anak sejak awal, kemudian mencari jalan apa yang harus dilakukan di rumah untuk menerangkan suatu hal, dengan mencari pemahaman dasar dalam kehidupan sehari-hari, maka matematika tidak akan menjadi sesuatu yang menakutkan.
Kamis, 09 April 2009
Apa itu Bilangan bulat...?
Bilangan Bulat
Bilangan-bilangan: -1, -2, -3, -4, -5,… disebut bilangan bulat negatif. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5,… disebut bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat positif, nol, dan himpunan bilangan bulat negatif membentuk himpunan bilangan bulat. Nol adalah bilangan yang tidak positif dan tidak negatif. Himpunan bilangan bulat ditulis dengan {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}.
Untuk sembarang bilangan bulat a, b dan c, selalu berlaku:
• a + b = b ¬+ a … Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan
• a + 0 = 0 + a … 0 disebut unsur identitas terhadap operasi penjumlahan
• (a + b ) + c = a + (b + c) … Sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan
• Jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat … Sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan
• a – b = a + (-b)
• a – b = c, maka c juga bilangan bulat … Sifat tertutup terhadap operasi pengurangan
• a × b = b ¬× a … Sifat komutatif terhadap operasi perkalian
• a × 1 = 1 × a … 1 disebut unsur identitas terhadap operasi perkalian
• (a × b ) × c = a × (b × c) … Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian
• Jika a × b = c, maka c juga bilangan bulat … Sifat tertutup pada perkalian
• a : 0 tidak didefinisikan
• 0 : a = 0
Bilangan-bilangan: -1, -2, -3, -4, -5,… disebut bilangan bulat negatif. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5,… disebut bilangan bulat positif. Himpunan bilangan bulat positif, nol, dan himpunan bilangan bulat negatif membentuk himpunan bilangan bulat. Nol adalah bilangan yang tidak positif dan tidak negatif. Himpunan bilangan bulat ditulis dengan {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}.
Untuk sembarang bilangan bulat a, b dan c, selalu berlaku:
• a + b = b ¬+ a … Sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan
• a + 0 = 0 + a … 0 disebut unsur identitas terhadap operasi penjumlahan
• (a + b ) + c = a + (b + c) … Sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan
• Jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat … Sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan
• a – b = a + (-b)
• a – b = c, maka c juga bilangan bulat … Sifat tertutup terhadap operasi pengurangan
• a × b = b ¬× a … Sifat komutatif terhadap operasi perkalian
• a × 1 = 1 × a … 1 disebut unsur identitas terhadap operasi perkalian
• (a × b ) × c = a × (b × c) … Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian
• Jika a × b = c, maka c juga bilangan bulat … Sifat tertutup pada perkalian
• a : 0 tidak didefinisikan
• 0 : a = 0
kejadian probabilitas
KEJADIAN-KEJADIAN DALAM PROBABILITAS
Kejadian – kejadian bebas
Kejadian bebas sering diartikan sebagai keluaran yang tidak dipengaruhi oleh keluaran-keluaran yang lain. Misalkan contoh pelemparan tiga mata uang logam yang bernilai Rp50,00; Rp100,00 dan Rp500,00, dimana ketiga uang logam ini memiliki probabilitas dua dari tiga uang logam menghasilkan gambar yang jumlah keseluruhan keluarannya adalah 8. Dengan kata lain, pelemparan uang logam Rp100,00 tidak mempengaruhi pelemparan uang logam Rp500,00 dan sebaliknya.
Kejadian-kejadian tergantung
Sedangkan, kejadian-kejadian tergantung adalah keluaran-keluaran yang dipengaruhi oleh keluaran-keluaran lainnya. Perhatikan contoh berikut :
Contoh: berapa probabilitas pengambilan satu kartu queen secara acak dari setumpukan kartu bridge dan kemudian mengambil kartu queen lagi dari tumpukan yang sama, tetapi tanpa mengembalikan kartu yang telah diambil sebelumnya ketumpukan?
Jawab: untuk pengambilan pertama, probabilitas keluaran yang diujikan adalah 4/52. Akan tetapi, begitu kartu pertama tersebut sudah terambil, banyaknya seluruh keluaran tidak lagi 52, melainkan tinggal 51 karena satu kartu telah terambil dari tumpukan.
Seandainya pengambilan pertama menghasilkan keluaran yang diinginkan yaitu satu kartu queen, maka sekarang hanya tinggal 3 kartu queen didalam tumpukan. Atau banyaknya keluaran yang diinginkan akan tetap 4 jika pengambilan pertama tidak menghasilkan kartu queen. Maka pengambilan kedua adalah kejadianyang tergantung karena probabilitasnya berubah tergantung pada apa yang terjadi pada pengambilan pertama.
Akan tetapi, jika anda mengembalikan kartu pengambilan pertama ketumpukannya dan mengocoknya lagi dengan baik sebelum melakukan pengambilan kedua, maka probabilitas untuk keluaran yang diinginkan untuk setiap pengambilan sekarang menjadi sama yakni 4/52, dan kejadiannya menjadi bebas.
Probabilitas kejadian bersama
Aturan perkalian :
Untuk menghitung probabilitas dua tau lebih kejadian bebas dalam satu kejadian,yaitu kejadian bersama, kalikan probabilitas-probabilitasnya.
Sebagai contoh, probabilitas uang logam Rp100,00 jatuh pada ½ atau 0,5; probabilitas uang Rp200,00 jatuh pada angka adalah ½ atau 0,5; dan probabilitas uang logam Rp500,00 atau 0,5; maka perhatikan bahwa
0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125
yang telah anda tentukan dengan teori klasik dengan menilai nisbah banyaknya keluaran yang berurutan terhadap banyaknya seluruh keluaran. Cara penulisan kejadian bersama adalah P(AB) = P(A) x P(B) dan dibaca: probabilitas kedua kejadian A dan B terjadi bersamaan dengan probabilitas A kali probabilitas B.
Dengan menggunakan aturan perkalian, anda juga dapat menentukan probabilitas pengambilan dua king berurutan dari satu tumpukan kartu. Satu-satunya cara untuk mengambildua king berurutan dari satu tumpukan kartu adalah kedua pengambilan harus sesuai. Untuk pengambilan pertama, probabilitas suatu keluaran yang adalah 4/52. Tetapi karena pengambilan pertama sudah sesuai; hanya ada 3 king yang tertinggal di antara 51 kartu. Maka probabilitas satu keluaran yang sesuai untuk pengambilan kedua adalah 3/51. Untuk kedua kejadian yang terjadi, anda tinggal mengalihkan kedua probabilitasnya:
(4/52) x (3/51) = (12/2.625) = 0,0045
Perhatikan bahwa probabilitas-probabilitas tersebut tidak bebas. Akan tetapi, seandainya anda telah memutuskan untuk mengembalikan kartu yang pertama sebelum melakukan pengambilan kedua, maka pengambilan probabilitas pengambilan satu king pad setia pengambilan adalah 4/52, karena sekarang kejadian-kejadian tersebut adalah kejadian bebas. Mengambil satu kartu king dua kali berurutan, dengan kemungkinan keduanya 4/52 menghasilkan
(4/52) x (4/52) = (16/2.704) = 0,0059
Pada masing-masing kasus, anda menggunakan aturan perkalian karena pada kedua kejadian tersebut anda sedang menghitung probabilitas untuk keluaran-keluaran yang diinginkan.
Aturan penambahan :
Jika diberikan kejadian-kejadian yang saling lepas, menghitung probabilitas paling sedikit satu kejadian diantaranya terjadi, dilakukan dengan menambahkan probabilitas-probabilitasnya.
Contoh : berapa probabilitas paling sedikit kartu keriting atau satu kartu sekop terpilih secara acak dalam satu kali pengambilan kartu dari setumpukan kartu?
Probabilitas mengambil satu kartiu keriting dalam satukali pengambilan adalah 13/52; probabilitas mengambil satu kartu sekop dalam satu kali pengambilan adalah 13/52. Kedua keluaran ini saling lepas dalam satu kali pengambilan karena anda tidak dapat mengambil kartu keriting dan sekaligus kartu sekop dalam satu kali pengmabilan. Oleh karena itu, anda bisa menggunakan aturan penambahan untuk menghitung probabilitas pengambilan paling sedikit kartu wajik atau satu kartu hati dalam satu kali pengambilan
(13/52) +(13/52) = 26/52 = 0,50.
Referensi :cliff quick review (2001)
Kejadian – kejadian bebas
Kejadian bebas sering diartikan sebagai keluaran yang tidak dipengaruhi oleh keluaran-keluaran yang lain. Misalkan contoh pelemparan tiga mata uang logam yang bernilai Rp50,00; Rp100,00 dan Rp500,00, dimana ketiga uang logam ini memiliki probabilitas dua dari tiga uang logam menghasilkan gambar yang jumlah keseluruhan keluarannya adalah 8. Dengan kata lain, pelemparan uang logam Rp100,00 tidak mempengaruhi pelemparan uang logam Rp500,00 dan sebaliknya.
Kejadian-kejadian tergantung
Sedangkan, kejadian-kejadian tergantung adalah keluaran-keluaran yang dipengaruhi oleh keluaran-keluaran lainnya. Perhatikan contoh berikut :
Contoh: berapa probabilitas pengambilan satu kartu queen secara acak dari setumpukan kartu bridge dan kemudian mengambil kartu queen lagi dari tumpukan yang sama, tetapi tanpa mengembalikan kartu yang telah diambil sebelumnya ketumpukan?
Jawab: untuk pengambilan pertama, probabilitas keluaran yang diujikan adalah 4/52. Akan tetapi, begitu kartu pertama tersebut sudah terambil, banyaknya seluruh keluaran tidak lagi 52, melainkan tinggal 51 karena satu kartu telah terambil dari tumpukan.
Seandainya pengambilan pertama menghasilkan keluaran yang diinginkan yaitu satu kartu queen, maka sekarang hanya tinggal 3 kartu queen didalam tumpukan. Atau banyaknya keluaran yang diinginkan akan tetap 4 jika pengambilan pertama tidak menghasilkan kartu queen. Maka pengambilan kedua adalah kejadianyang tergantung karena probabilitasnya berubah tergantung pada apa yang terjadi pada pengambilan pertama.
Akan tetapi, jika anda mengembalikan kartu pengambilan pertama ketumpukannya dan mengocoknya lagi dengan baik sebelum melakukan pengambilan kedua, maka probabilitas untuk keluaran yang diinginkan untuk setiap pengambilan sekarang menjadi sama yakni 4/52, dan kejadiannya menjadi bebas.
Probabilitas kejadian bersama
Aturan perkalian :
Untuk menghitung probabilitas dua tau lebih kejadian bebas dalam satu kejadian,yaitu kejadian bersama, kalikan probabilitas-probabilitasnya.
Sebagai contoh, probabilitas uang logam Rp100,00 jatuh pada ½ atau 0,5; probabilitas uang Rp200,00 jatuh pada angka adalah ½ atau 0,5; dan probabilitas uang logam Rp500,00 atau 0,5; maka perhatikan bahwa
0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125
yang telah anda tentukan dengan teori klasik dengan menilai nisbah banyaknya keluaran yang berurutan terhadap banyaknya seluruh keluaran. Cara penulisan kejadian bersama adalah P(AB) = P(A) x P(B) dan dibaca: probabilitas kedua kejadian A dan B terjadi bersamaan dengan probabilitas A kali probabilitas B.
Dengan menggunakan aturan perkalian, anda juga dapat menentukan probabilitas pengambilan dua king berurutan dari satu tumpukan kartu. Satu-satunya cara untuk mengambildua king berurutan dari satu tumpukan kartu adalah kedua pengambilan harus sesuai. Untuk pengambilan pertama, probabilitas suatu keluaran yang adalah 4/52. Tetapi karena pengambilan pertama sudah sesuai; hanya ada 3 king yang tertinggal di antara 51 kartu. Maka probabilitas satu keluaran yang sesuai untuk pengambilan kedua adalah 3/51. Untuk kedua kejadian yang terjadi, anda tinggal mengalihkan kedua probabilitasnya:
(4/52) x (3/51) = (12/2.625) = 0,0045
Perhatikan bahwa probabilitas-probabilitas tersebut tidak bebas. Akan tetapi, seandainya anda telah memutuskan untuk mengembalikan kartu yang pertama sebelum melakukan pengambilan kedua, maka pengambilan probabilitas pengambilan satu king pad setia pengambilan adalah 4/52, karena sekarang kejadian-kejadian tersebut adalah kejadian bebas. Mengambil satu kartu king dua kali berurutan, dengan kemungkinan keduanya 4/52 menghasilkan
(4/52) x (4/52) = (16/2.704) = 0,0059
Pada masing-masing kasus, anda menggunakan aturan perkalian karena pada kedua kejadian tersebut anda sedang menghitung probabilitas untuk keluaran-keluaran yang diinginkan.
Aturan penambahan :
Jika diberikan kejadian-kejadian yang saling lepas, menghitung probabilitas paling sedikit satu kejadian diantaranya terjadi, dilakukan dengan menambahkan probabilitas-probabilitasnya.
Contoh : berapa probabilitas paling sedikit kartu keriting atau satu kartu sekop terpilih secara acak dalam satu kali pengambilan kartu dari setumpukan kartu?
Probabilitas mengambil satu kartiu keriting dalam satukali pengambilan adalah 13/52; probabilitas mengambil satu kartu sekop dalam satu kali pengambilan adalah 13/52. Kedua keluaran ini saling lepas dalam satu kali pengambilan karena anda tidak dapat mengambil kartu keriting dan sekaligus kartu sekop dalam satu kali pengmabilan. Oleh karena itu, anda bisa menggunakan aturan penambahan untuk menghitung probabilitas pengambilan paling sedikit kartu wajik atau satu kartu hati dalam satu kali pengambilan
(13/52) +(13/52) = 26/52 = 0,50.
Referensi :cliff quick review (2001)
MENJADIKAN GURU YANG CERDAS
MENJADIKAN GURU YANG CERDAS
Pokok persoalan atau permasalahan yang selalu mudah diperdebatkan berkaitan dengan kurikulum ialah : Apakah KTSP sekarang ini merupakan kurikulum yang mencerdaskan ataukah justru sebaliknya? Siapa yang lebih harus dicerdaskan, siswa, guru, kepala sekolah, pengawas, atau siapa? Bagaimana mengukur peningkatan kecerdasan itu? Pertanyaan lain pasti muncul, namun yang harus dicatat saat ini ialah para guru “sibuk” bergelut dengan KTSP ini. Ada yang jatuh bangun menyusun atau mengembangkan sendiri setelah membaca berbagai sumber, ada yang sibuk bertanya ke berbagai sumber, tidak kurang yang sekedar menunggu perkembangan dalam arti nanti tinggal menyontoh saja (copy-paste), tidak sedikit yang selalu bingung dan bingung hingga akhirnya tidak berbuat apa-apa.
Kurikulum harusnya mampu melahirkan guru yang cerdas, begitu pula dengan peserta didiknya. Guru yang cerdas ialah guru yang berani kritis terhadap Standar Kompetensi (SK) dan Kompetensi Dasar (KD) melalui mengkaji, mengidentifikasi, mengembangkan, merumuskan, dan menentukan jenis penilaian, alokasi waktu, dan sumber belajar dalam sebuah silabus yang dikembangkan menjadi Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP).
Agar guru berani memaknai SK dan KD diperlukan:
A. Model pelatihan (bimbingan teknis) guru dengan rumus 30:70. Maksudnya, pelatih menggunakan 30 persen dari alokasi waktunya untuk menerangkan, selebihnya yang 70 persen untuk peserta pelatihan (guru) melakukan diskusi kelompok, mengidentifikasi dan sebagainya. Dengan kata lain, model pelatihan yang 100 persen ceramah harus dihilangkan, digantikan dengan formula 30:70 agar peserta pelatihan (guru) benar-benar bergulat dengan segala kesulitan yang ada., mencari solusinya sendiri, karena guru sendiri yang akan membuat dan mengembangkannya disekolah masing-masing, bukan sang pelatih.
B. Hindarkan guru-guru dari menjiplak contoh. Banyak sekali bukti dilapangan yang menunjukkan bahwa guru sering kali menjiplak contoh-contoh yang diberikan pada saat pelatihan. Hal ini lah yang membuat guru-guru tersebut tidak tertantang untuk membuat sol-soal sendiri. Sebaiknya pada saat pelatihan dilakukan, guru-guru tersebut dibiarkan menentukan sendiri Materi Pokok, indikator, dan sebagainya dan kemudian didiskusikan bersama. Sehingga guru-guru lebih terlatih untuk membuat soal-soal sendiri dan tidak mencontoh atau menjiplak pada soal-soal yang ada.
C. Proses pembelajaran yang aktif, inovatif, kreatif, efektif, dan menyenangkan (PAIKEM) adalah keharusan. Maksudnya ialah, semua pihak yang berkaitan dengan pendidikan (orangtua, masyarakat, sekolah) lebih bisa menciptakan suasana pembelajaran yang bermakna, kreatif, dinamis, dan interaktif. Kurikulum selama ini hanya alat yang terus “diasah” oleh guru, sehingga semakin kurikulum tersebut terasah, maka semakin terciptanya suasana pembelajaran yang semakin menyenangkan. Guru yang cerdasa adalah guru yang mampu menciptakan PAIKEM, demikian juga dengan pejabat pendidikan yang disebut cerdas jika ia dapat medorong para guru untuk melaksanakan PAIKEM secara bebas, demokratis, dan terbuka.
Pokok persoalan atau permasalahan yang selalu mudah diperdebatkan berkaitan dengan kurikulum ialah : Apakah KTSP sekarang ini merupakan kurikulum yang mencerdaskan ataukah justru sebaliknya? Siapa yang lebih harus dicerdaskan, siswa, guru, kepala sekolah, pengawas, atau siapa? Bagaimana mengukur peningkatan kecerdasan itu? Pertanyaan lain pasti muncul, namun yang harus dicatat saat ini ialah para guru “sibuk” bergelut dengan KTSP ini. Ada yang jatuh bangun menyusun atau mengembangkan sendiri setelah membaca berbagai sumber, ada yang sibuk bertanya ke berbagai sumber, tidak kurang yang sekedar menunggu perkembangan dalam arti nanti tinggal menyontoh saja (copy-paste), tidak sedikit yang selalu bingung dan bingung hingga akhirnya tidak berbuat apa-apa.
Kurikulum harusnya mampu melahirkan guru yang cerdas, begitu pula dengan peserta didiknya. Guru yang cerdas ialah guru yang berani kritis terhadap Standar Kompetensi (SK) dan Kompetensi Dasar (KD) melalui mengkaji, mengidentifikasi, mengembangkan, merumuskan, dan menentukan jenis penilaian, alokasi waktu, dan sumber belajar dalam sebuah silabus yang dikembangkan menjadi Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP).
Agar guru berani memaknai SK dan KD diperlukan:
A. Model pelatihan (bimbingan teknis) guru dengan rumus 30:70. Maksudnya, pelatih menggunakan 30 persen dari alokasi waktunya untuk menerangkan, selebihnya yang 70 persen untuk peserta pelatihan (guru) melakukan diskusi kelompok, mengidentifikasi dan sebagainya. Dengan kata lain, model pelatihan yang 100 persen ceramah harus dihilangkan, digantikan dengan formula 30:70 agar peserta pelatihan (guru) benar-benar bergulat dengan segala kesulitan yang ada., mencari solusinya sendiri, karena guru sendiri yang akan membuat dan mengembangkannya disekolah masing-masing, bukan sang pelatih.
B. Hindarkan guru-guru dari menjiplak contoh. Banyak sekali bukti dilapangan yang menunjukkan bahwa guru sering kali menjiplak contoh-contoh yang diberikan pada saat pelatihan. Hal ini lah yang membuat guru-guru tersebut tidak tertantang untuk membuat sol-soal sendiri. Sebaiknya pada saat pelatihan dilakukan, guru-guru tersebut dibiarkan menentukan sendiri Materi Pokok, indikator, dan sebagainya dan kemudian didiskusikan bersama. Sehingga guru-guru lebih terlatih untuk membuat soal-soal sendiri dan tidak mencontoh atau menjiplak pada soal-soal yang ada.
C. Proses pembelajaran yang aktif, inovatif, kreatif, efektif, dan menyenangkan (PAIKEM) adalah keharusan. Maksudnya ialah, semua pihak yang berkaitan dengan pendidikan (orangtua, masyarakat, sekolah) lebih bisa menciptakan suasana pembelajaran yang bermakna, kreatif, dinamis, dan interaktif. Kurikulum selama ini hanya alat yang terus “diasah” oleh guru, sehingga semakin kurikulum tersebut terasah, maka semakin terciptanya suasana pembelajaran yang semakin menyenangkan. Guru yang cerdasa adalah guru yang mampu menciptakan PAIKEM, demikian juga dengan pejabat pendidikan yang disebut cerdas jika ia dapat medorong para guru untuk melaksanakan PAIKEM secara bebas, demokratis, dan terbuka.
TOKOH MATEMATIKA
TOKOH MATEMATIKA
(Sejarah dan Penemuannya)
Johann Bode(1772)
Sejarahnya : Beliau merumuskan model matematika tentang tata surya, model ini erat hubungannya dengan Eksponen. Model matematika tersebut telah diterapkan dengan baik terhadap planet-planet yang sudah dikenal kemudian diketahui bahwa ada planet-planet yang berotasi antara Mars dan Jupiter.
Penemuannya ialah Eksponen.
Evariste Galois(1811-1832)
Sejarahnya : Beliau seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis yang memberi kontribusi nyata pada teori fungsi, teori persamaan, dan teori bilangan. Semua pemikirannya berkembang dari minatnya ketika masih sekolah untuk menunjukan ketidakmungkinan penyelesaian persamaan pangkat enam dengan radikal dan untuk persamaan suku banyak agar dapat diselesaikan.
Penemuannya : Teori fungsi, Teori persamaan, dan Teori bilangan.
Aristoteles (sekitar Tahun 400 SM)
Sejarahnya : Beliau adalah ahli filsafat pertama yang mengembangkan logika pada jaman Yunani kuno. Kala itu logika dikenal dengan istilah Logika Tradisional.
Penemuannya : Logika.
G.W. Leibniz (1646-1716)
Sejarahnya : Matematikawan pertama yang mempelajari Logika Simbolik.
Penemuannya : Logika Simbolik
Geoge Boole(1815-1864)
Sejarahnya : Beliau menulis buku “Laws of Thought” yang mengenbangkan Logika Simbolik sebagai sistem matematika yang abstrak.
Penemuannya : Logika Simbolik.
Matematikawan lain yang berjasa mengenbangkan Logika Simbolik adalah Leonhard Euler(1707-1783), John Venn(1834 -1923, dan Bertand Russell(1872-1970).
Euclid (sekitar Tahun 300 SM)
Sejarahnya : Beliau seorang matematikawan yang hidup sekitar tahun 300 SM di Alexandria. Dalam bukunya “ The Element “, ia menyatakan 5 postulat yang menjadi landasan dari semua teorema yang ditemukannya. Semua postulat dan teorema yang beliau ungkapkan merupakan landasan teori tentang kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang yang hinga kini masih digunakan dengan hampir tanpa perubahan yang prinsipil.
Penemuannya : Titik, Garis, dan Bidang.
Pythagoras
Sejarahnya : Pythagoras lahir di pulau Samos pada tahun 570 SM. Ia seorang pemikir yang hebat, selain menemukan dalil Pythagoras, ia juga menemukan bahwa nada suara yang dihasilkan dari suatu dawai yang bergetar bergantung dari panjang talinya.
Ia memiliki kebiasan yang sangat aneh, ia mendirikan sekolah bagi para 300 aristokrat muda yang belajar tentang matematika, filsafat, hukum, dll. Mereka memiliki rasa persaudaraan yang sangat erat, dan tidak memperbolehkan makan buncis, minum anggur, dan mengambil sesuatu yang telah terjatuh , menyalakan api dengan besi, dan menghadap ke arah tertentu saat buang air kecil.
Diduga kuat kebiasaan aneh inilah yang menjadi penyebab kematian Pythagoras. Saat ia melarikan diri dari rumahnya yang terbakar dan dikejar oleh para penganiya, ia berhenti di suatu ladang buncis, ia bukannya terus berlari sambil mengijak-injak buncis-buncis tersebut, tetapi ia malah memberikan dirinya dibunuh oleh para penganiaya tersebut.
Penemuannya : dalil Pythagoras.
(Sejarah dan Penemuannya)
Johann Bode(1772)
Sejarahnya : Beliau merumuskan model matematika tentang tata surya, model ini erat hubungannya dengan Eksponen. Model matematika tersebut telah diterapkan dengan baik terhadap planet-planet yang sudah dikenal kemudian diketahui bahwa ada planet-planet yang berotasi antara Mars dan Jupiter.
Penemuannya ialah Eksponen.
Evariste Galois(1811-1832)
Sejarahnya : Beliau seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis yang memberi kontribusi nyata pada teori fungsi, teori persamaan, dan teori bilangan. Semua pemikirannya berkembang dari minatnya ketika masih sekolah untuk menunjukan ketidakmungkinan penyelesaian persamaan pangkat enam dengan radikal dan untuk persamaan suku banyak agar dapat diselesaikan.
Penemuannya : Teori fungsi, Teori persamaan, dan Teori bilangan.
Aristoteles (sekitar Tahun 400 SM)
Sejarahnya : Beliau adalah ahli filsafat pertama yang mengembangkan logika pada jaman Yunani kuno. Kala itu logika dikenal dengan istilah Logika Tradisional.
Penemuannya : Logika.
G.W. Leibniz (1646-1716)
Sejarahnya : Matematikawan pertama yang mempelajari Logika Simbolik.
Penemuannya : Logika Simbolik
Geoge Boole(1815-1864)
Sejarahnya : Beliau menulis buku “Laws of Thought” yang mengenbangkan Logika Simbolik sebagai sistem matematika yang abstrak.
Penemuannya : Logika Simbolik.
Matematikawan lain yang berjasa mengenbangkan Logika Simbolik adalah Leonhard Euler(1707-1783), John Venn(1834 -1923, dan Bertand Russell(1872-1970).
Euclid (sekitar Tahun 300 SM)
Sejarahnya : Beliau seorang matematikawan yang hidup sekitar tahun 300 SM di Alexandria. Dalam bukunya “ The Element “, ia menyatakan 5 postulat yang menjadi landasan dari semua teorema yang ditemukannya. Semua postulat dan teorema yang beliau ungkapkan merupakan landasan teori tentang kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang yang hinga kini masih digunakan dengan hampir tanpa perubahan yang prinsipil.
Penemuannya : Titik, Garis, dan Bidang.
Pythagoras
Sejarahnya : Pythagoras lahir di pulau Samos pada tahun 570 SM. Ia seorang pemikir yang hebat, selain menemukan dalil Pythagoras, ia juga menemukan bahwa nada suara yang dihasilkan dari suatu dawai yang bergetar bergantung dari panjang talinya.
Ia memiliki kebiasan yang sangat aneh, ia mendirikan sekolah bagi para 300 aristokrat muda yang belajar tentang matematika, filsafat, hukum, dll. Mereka memiliki rasa persaudaraan yang sangat erat, dan tidak memperbolehkan makan buncis, minum anggur, dan mengambil sesuatu yang telah terjatuh , menyalakan api dengan besi, dan menghadap ke arah tertentu saat buang air kecil.
Diduga kuat kebiasaan aneh inilah yang menjadi penyebab kematian Pythagoras. Saat ia melarikan diri dari rumahnya yang terbakar dan dikejar oleh para penganiya, ia berhenti di suatu ladang buncis, ia bukannya terus berlari sambil mengijak-injak buncis-buncis tersebut, tetapi ia malah memberikan dirinya dibunuh oleh para penganiaya tersebut.
Penemuannya : dalil Pythagoras.
Program Delphi Untuk Statistika
Program Delphi Untuk Statistika
Input data :
var i,k,j :integer;
a :array [0..100] of integer;
begin
for i:= 0 to listbox1.Items.Count-1 do
a[i] :=strtoint(listbox1.Items[i]);
for i :=0 to listbox1.items.Count-1 do
for j := 0 to i do
if a[i]
k:= a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=k;
end;
for i:= 0 to listbox1.Items.Count-1 do
listbox2.items.add (inttostr(a[i]));
end;
process:
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var a:array[0..100] of integer;
i,jlh,jlh2,max,min,p,q,s,r,rent:integer;
rata,sig,v,sd:real;
begin
//mencari banyak data
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
a[i]:=strtoint(listbox1.Items[i]);
edit2.Text:=inttostr(i);
//mencari jumlah data
jlh:=0;
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
jlh:=jlh+a[i];
edit3.Text:=inttostr(jlh);
//mencari rata-rata
rata:=jlh/i;
edit4.Text:=floattostr(rata);
//mencari nilai maksimum
max:=a[0];
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
if max
edit5.Text:=inttostr(max);
//mencari nilai minimum
min:=a[0];
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
if min>a[i] then
min:=a[i];
edit6.Text:=inttostr(min);
//mencari rentang
rent:=max-min;
edit7.Text:=inttostr(rent);
//mencari hasil standar deviasi
sig:=0;
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
if i=1 then edit8.text:=''
else
begin
sig:=sig+(a[i]-rata)*(a[i]-rata);
v:=sig/(i-1);
if v>=0 then
sd:=sqrt(v);
edit8.text:=floattostr(sd);
if v<0 then
edit8.Text:='akar negatif';
end;
end;
urut data :
var i,k,j :integer;
a :array [0..100] of integer;
begin
for i:= 0 to listbox1.Items.Count-1 do
a[i] :=strtoint(listbox1.Items[i]);
for i :=0 to listbox1.items.Count-1 do
for j := 0 to i do
if a[i]
k:= a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=k;
end;
for i:= 0 to listbox1.Items.Count-1 do
listbox2.items.add (inttostr(a[i]));
end;
Input data :
var i,k,j :integer;
a :array [0..100] of integer;
begin
for i:= 0 to listbox1.Items.Count-1 do
a[i] :=strtoint(listbox1.Items[i]);
for i :=0 to listbox1.items.Count-1 do
for j := 0 to i do
if a[i]
k:= a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=k;
end;
for i:= 0 to listbox1.Items.Count-1 do
listbox2.items.add (inttostr(a[i]));
end;
process:
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var a:array[0..100] of integer;
i,jlh,jlh2,max,min,p,q,s,r,rent:integer;
rata,sig,v,sd:real;
begin
//mencari banyak data
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
a[i]:=strtoint(listbox1.Items[i]);
edit2.Text:=inttostr(i);
//mencari jumlah data
jlh:=0;
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
jlh:=jlh+a[i];
edit3.Text:=inttostr(jlh);
//mencari rata-rata
rata:=jlh/i;
edit4.Text:=floattostr(rata);
//mencari nilai maksimum
max:=a[0];
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
if max
edit5.Text:=inttostr(max);
//mencari nilai minimum
min:=a[0];
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
if min>a[i] then
min:=a[i];
edit6.Text:=inttostr(min);
//mencari rentang
rent:=max-min;
edit7.Text:=inttostr(rent);
//mencari hasil standar deviasi
sig:=0;
for i:=0 to listbox1.Items.Count-1 do
if i=1 then edit8.text:=''
else
begin
sig:=sig+(a[i]-rata)*(a[i]-rata);
v:=sig/(i-1);
if v>=0 then
sd:=sqrt(v);
edit8.text:=floattostr(sd);
if v<0 then
edit8.Text:='akar negatif';
end;
end;
urut data :
var i,k,j :integer;
a :array [0..100] of integer;
begin
for i:= 0 to listbox1.Items.Count-1 do
a[i] :=strtoint(listbox1.Items[i]);
for i :=0 to listbox1.items.Count-1 do
for j := 0 to i do
if a[i]
k:= a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=k;
end;
for i:= 0 to listbox1.Items.Count-1 do
listbox2.items.add (inttostr(a[i]));
end;
Pemrograman delphi untuk pythagoras dan fibonacci
Delphi untuk pythagoras
var i,k,j,m,n, phytg:integer;
a,b :real;
begin
phytg :=0;
n:=StrToInt(Edit1.Text);
for i:=1 to n do
for j:=1 to i do
for k:=1 to j do
begin
a:=i*i;
b:=j*j + k*k;
if k<= n then
begin
if a=b then
begin
phytg:=phytg+1;
ListBox1.Items.Add('bilangan phytagoras ke-'+IntToStr(phytg)+'='+intToStr(k)+';'+IntToStr(j)+';'+IntToStr(i));
end;
end;
fibonacci :
var
i,a,b,n,fibonacci:integer;
begin
n:=strtoint(edit1.text);
a:=1;
b:=1;
listbox1.items.add('bil.Fibonacci ke-1= 1');
listbox1.Items.add('bil.fibonacci ke-2= 1');
for i:=3 to n do
begin
fibonacci:=a+b;
listbox1.Items.add('bil.Fibonacci ke-'+ inttostr(i)+'= '+inttostr(Fibonacci));
a:=b;
b:=fibonacci;
end;
end;
var i,k,j,m,n, phytg:integer;
a,b :real;
begin
phytg :=0;
n:=StrToInt(Edit1.Text);
for i:=1 to n do
for j:=1 to i do
for k:=1 to j do
begin
a:=i*i;
b:=j*j + k*k;
if k<= n then
begin
if a=b then
begin
phytg:=phytg+1;
ListBox1.Items.Add('bilangan phytagoras ke-'+IntToStr(phytg)+'='+intToStr(k)+';'+IntToStr(j)+';'+IntToStr(i));
end;
end;
fibonacci :
var
i,a,b,n,fibonacci:integer;
begin
n:=strtoint(edit1.text);
a:=1;
b:=1;
listbox1.items.add('bil.Fibonacci ke-1= 1');
listbox1.Items.add('bil.fibonacci ke-2= 1');
for i:=3 to n do
begin
fibonacci:=a+b;
listbox1.Items.add('bil.Fibonacci ke-'+ inttostr(i)+'= '+inttostr(Fibonacci));
a:=b;
b:=fibonacci;
end;
end;
Matematika menyenangkan
Belajar matematika yang menyenangkan
Selanjutnya mengusahakan bagaimana agar suasana ruang kelas yang digunakan untuk belajar siswa adalah kondusif. Dengan kata lain tata letak perabot kelas tidak harus diatur secara ‘formal’. Sering kita jumpai, ada siswa yang malas belajar ketika harus duduk tenang dan serius. Mereka lebih senang dan nyaman ketika belajar sambil tidur-tiduran diatas karpet. Menyikapi hal ini guru sebaiknya memberi kebebasan kepada siswa untuk belajar atau mengerjakan soal latihan diatas bangku atau dilantai.
Selain tersebut, dijumpai juga siswa yang senang ‘ngemil’ atau makan-makanan yang ringan seperti permen, kerupuk atau lainnya. Menyikapi siswa yang demikian tentunya guru juga tidak dapat melarang serta merta kepada siswa untuk makan dalam kelas. Pada intinya, apapun yang dapat menjadikan siswa nyaman dan senang untuk belajar matematika sebaiknya oleh seorang guru tidak dilarang secara keras. Berikan kebebasan bergerak dan berfikir kepada siswa yang tentunya juga tetap dalam batas-batas kewajaran. Dan selain itu seperti yang disebutkan diatas kita dapat menggunakan permainan.
Dengan permainan dimaksudkan untuk memperkenalkan keanehan-keanehan yang diperlihatkan oleh bilangan-bilangn. Akibat keanehan-keanehan tersebut, akan merangsang minat para pelajar untuk mempelajari matematika, sehingga secara sukarela dan tak langsung menimbulkan hasrat untuk mempelajarinya, dan dengan menghayati langsung, mengenalkannya kemudian akan timbul rasa sayang. Dengan perlahan-lahan minat pada matematika akan tumbuh dengan suburnya tanpa adanya perasaan takut sedikit pun. Bukankah timbulnya perasaan sayang ini setelah benar-benar mereka terlibat langsung dalam kenyataan yang sungguh-sungguh mengasyikan. Dalam pepatah Jawa mengatakan ‘Witing tresna jalaran saka kulina’.yang artinya tumbuhnya kecintaan karena bergaul terus-menerus. Ada juga pepatah Tionghoa yang kira-kira artinya seperti ini :
Saya melihat dan saya lupa
Saya mendengar dan saya ingat
Saya berbuat dan saya mengerti
Kalau pelajaran yang diterima hanya didengar saja tanpa kita berbuat aktif hanya menjadi anak yang pelupa saja. Tetapi bila anak dilibatkan pada keaktifan sendiri, mengerjakan sendiri, memecahkan sendiri menarik kesimpulan sendiri anak akan betul-betul memahami dan mengerti. Dengan cara seperti ini diharapkan proses belajar dapat mencapai tujuannya.
Selanjutnya mengusahakan bagaimana agar suasana ruang kelas yang digunakan untuk belajar siswa adalah kondusif. Dengan kata lain tata letak perabot kelas tidak harus diatur secara ‘formal’. Sering kita jumpai, ada siswa yang malas belajar ketika harus duduk tenang dan serius. Mereka lebih senang dan nyaman ketika belajar sambil tidur-tiduran diatas karpet. Menyikapi hal ini guru sebaiknya memberi kebebasan kepada siswa untuk belajar atau mengerjakan soal latihan diatas bangku atau dilantai.
Selain tersebut, dijumpai juga siswa yang senang ‘ngemil’ atau makan-makanan yang ringan seperti permen, kerupuk atau lainnya. Menyikapi siswa yang demikian tentunya guru juga tidak dapat melarang serta merta kepada siswa untuk makan dalam kelas. Pada intinya, apapun yang dapat menjadikan siswa nyaman dan senang untuk belajar matematika sebaiknya oleh seorang guru tidak dilarang secara keras. Berikan kebebasan bergerak dan berfikir kepada siswa yang tentunya juga tetap dalam batas-batas kewajaran. Dan selain itu seperti yang disebutkan diatas kita dapat menggunakan permainan.
Dengan permainan dimaksudkan untuk memperkenalkan keanehan-keanehan yang diperlihatkan oleh bilangan-bilangn. Akibat keanehan-keanehan tersebut, akan merangsang minat para pelajar untuk mempelajari matematika, sehingga secara sukarela dan tak langsung menimbulkan hasrat untuk mempelajarinya, dan dengan menghayati langsung, mengenalkannya kemudian akan timbul rasa sayang. Dengan perlahan-lahan minat pada matematika akan tumbuh dengan suburnya tanpa adanya perasaan takut sedikit pun. Bukankah timbulnya perasaan sayang ini setelah benar-benar mereka terlibat langsung dalam kenyataan yang sungguh-sungguh mengasyikan. Dalam pepatah Jawa mengatakan ‘Witing tresna jalaran saka kulina’.yang artinya tumbuhnya kecintaan karena bergaul terus-menerus. Ada juga pepatah Tionghoa yang kira-kira artinya seperti ini :
Saya melihat dan saya lupa
Saya mendengar dan saya ingat
Saya berbuat dan saya mengerti
Kalau pelajaran yang diterima hanya didengar saja tanpa kita berbuat aktif hanya menjadi anak yang pelupa saja. Tetapi bila anak dilibatkan pada keaktifan sendiri, mengerjakan sendiri, memecahkan sendiri menarik kesimpulan sendiri anak akan betul-betul memahami dan mengerti. Dengan cara seperti ini diharapkan proses belajar dapat mencapai tujuannya.
Permainan matematika
Contoh-contoh Permainan matematika
1. Berapakah Hasilnya
Disediakan bentuk hitungan aritmatika yang agak aneh. Coba pelajari dan pahamilah bentuk hitungan ini. Perlu diketahui hitungan ini tidak berupa angka-angka melainkan dengan abjad.
LIMA
SATU
––—— +
ENAM
Permasalahan :
Bila setiap abjad mewakili 1 angka bilangan dasar 10. berapakah nilai angka-angka ini agar hitungan diatas betul? Cobalah putar otak sedikit untuk mendapatkan hasil yang benar dari hitungan diatas.
Jawabannya :
Sekali lagi hitungannya itu kita tuliskan:
LIMA
SATU
——–– +
ENAM
Dari penjelasan ini dapat kita tarik kesimpulan sebagai berikut:
a. Bila L dan S dijumlah atau L + S akan menghasilkan angka dibawah 9. Mengapa demikian? Seandainya L + S = 9 tidak mungkin, karena hasil 9 ada kemungkinan mendapat 1 ratusan dari penjumlahan I + A.
b. Jadi untuk abjad E atau L + S = E mempunyai nilai angka-angka berkisar dari 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Maka L + S =1 tidak mungkin karena lebih dari 10.
L + S =2 tidak mungkin karena L≠S≠1
L + S =3 mungkin untuk L = 2 dan S = 1 atau sebaliknya.
L + S =4 mungkin ( 1 + 3 )
L + S =5 mungkin ( 1 + 4 ), ( 2 + 3 )
L + S =6 mungkin ( 1 + 5 ), ( 2 + 4 )
L + S =7 mungkin ( 1 + 6 ), ( 2 + 5 ), ( 3 + 4 )
L + S =8 mungkin ( 1 + 7 ), ( 2 + 6 ), ( 3 + 5 )
L + S =9 tidak mungkin
c. Hasil hitungan diatas lebih dari 1. untuk mendapatkan angka yang tepat harus menggunakan suatu teori yang dinamai dengan teori kemungkinan. Dengan teori kemungkinan yang dimaksud disini ialah harus dengan jalan coba-coba.
Percobaan: untuk L = 1 dan S = 3
1IMA
3ATU
——— +
ENAM
1. 1 . 7 2 2. 1 4 7 5 3. 1 . 9 4
3 5 8 2 3 2 5 5 3 4 5 5
–––––– + –––––– + –––––– +
E O 5 7 E N 2 7 E N 4 9
4. 1 5 9 2 5. 1 7 8 2 6. 1 6 5 2
3 2 3 7 3 2 4 6 3 2 7 3
–––––– + –––––– + –––––– +
4 8 2 9 5 0 2 8 4 9 2 5
7. 1 5 6 4 8. 6 0 5 3 9. 1 3 6 2
7 4 8 2 1 3 8 2 5 7 6 4
–––––– + –––––– + –––––– +
9 0 4 6 7 4 3 5 7 1 2 6
Dari percobaan 1 sampai 9 diatas ternyata yang memenuhi syarat ialah no 5,6,7 dan 8. dapatkah anda mencari angka-angka lainnya yang memenuhi syarat? Silahkan mencoba dengn banyak kemungkinan.
2 Menyeberangi Sungai.
Permainan ini mungkin mengasyikkan karena permasalahan yang hendak dipecahkan sangatlah sederhana. Dua orang dewasa dan dua orang anak hendak menyebrangi sungai yang sangat luas. Ditepi sungai tertambat sebuah perahu. Perahu ini hanya dapat ditumpangi oleh 1 orang dewasa saja atau 2 orang anak.
Permasalahan :
Dapatkah anda menolong bagaimana cara menyebrang dengan menggunakan perahu diatas? Ingatlah perahu harus ada yang menaiki waktu kembali.
Jawabannya :
Untuk memudahkan memecahkan masalah ini, maka kita gunakan perumpamaan. Dua orang dewasa kita umpamakan dengan simbol D1 dan D2, sedangkan dua orang anak kita umpamakan dengan simbol A1 dan A2. Dari simbol-simbol tersebut kita dapat menjawab permasalahan pada soal tadi.
a. A1 dan A2 menyeberang terlebih dahulu, kemudian A1 kembali ketempat penyeberangan semula.
b. D1 menyeberang dengan menggunakan perahu dan A2 kembali dengan perahu tersebut.
c. Kemudian A1 dan A2 kembali menyeberang, A1 kembali lagi untuk menyeberangkan D2.
d. D2 menyeberang sendiri dan A2 kembali untuk menjemput A1.
e. A1 dan A2 kembali menyeberang.
Nah dari penjelasan diatas, maka dua orang dewasa dan anak-anak tersebut dapat menyeberang dengan selamat tanpa mempermasalahkan perahu yang ditumpangi dengan trik-trik yang sangat tepat.
3. Mengikuti jejak yang beraturan
7 1
36 10
32 18
25
Permasalahan
Pada lapangan/medan yang terdiri dari 36 kotak terdapat 7 jejak. Persyaratan penelusuran jejak ini ialah harus dilakukan dengan nomor yang urut artinya harus dimulai dari nomor 1 hingga nomor 36. cara penelusuran jejak dapat dilakukan menurut arah tegak artinya bergerak ke atas dan ke bawah. Juga boleh dilakukan kearah horizontal yaitu ke arah kanan dan kiri. Tetapi tidak dinolehkan penelusuran berarah diagonal yaitu membentuk sudut 45°.
Penyelesaiannya :
6 5 4 3 14 15
7 8 1 2 13 16
36 9 10 11 12 17
35 34 33 32 19 18
28 29 30 31 20 21
27 26 25 24 23 22
1. Berapakah Hasilnya
Disediakan bentuk hitungan aritmatika yang agak aneh. Coba pelajari dan pahamilah bentuk hitungan ini. Perlu diketahui hitungan ini tidak berupa angka-angka melainkan dengan abjad.
LIMA
SATU
––—— +
ENAM
Permasalahan :
Bila setiap abjad mewakili 1 angka bilangan dasar 10. berapakah nilai angka-angka ini agar hitungan diatas betul? Cobalah putar otak sedikit untuk mendapatkan hasil yang benar dari hitungan diatas.
Jawabannya :
Sekali lagi hitungannya itu kita tuliskan:
LIMA
SATU
——–– +
ENAM
Dari penjelasan ini dapat kita tarik kesimpulan sebagai berikut:
a. Bila L dan S dijumlah atau L + S akan menghasilkan angka dibawah 9. Mengapa demikian? Seandainya L + S = 9 tidak mungkin, karena hasil 9 ada kemungkinan mendapat 1 ratusan dari penjumlahan I + A.
b. Jadi untuk abjad E atau L + S = E mempunyai nilai angka-angka berkisar dari 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Maka L + S =1 tidak mungkin karena lebih dari 10.
L + S =2 tidak mungkin karena L≠S≠1
L + S =3 mungkin untuk L = 2 dan S = 1 atau sebaliknya.
L + S =4 mungkin ( 1 + 3 )
L + S =5 mungkin ( 1 + 4 ), ( 2 + 3 )
L + S =6 mungkin ( 1 + 5 ), ( 2 + 4 )
L + S =7 mungkin ( 1 + 6 ), ( 2 + 5 ), ( 3 + 4 )
L + S =8 mungkin ( 1 + 7 ), ( 2 + 6 ), ( 3 + 5 )
L + S =9 tidak mungkin
c. Hasil hitungan diatas lebih dari 1. untuk mendapatkan angka yang tepat harus menggunakan suatu teori yang dinamai dengan teori kemungkinan. Dengan teori kemungkinan yang dimaksud disini ialah harus dengan jalan coba-coba.
Percobaan: untuk L = 1 dan S = 3
1IMA
3ATU
——— +
ENAM
1. 1 . 7 2 2. 1 4 7 5 3. 1 . 9 4
3 5 8 2 3 2 5 5 3 4 5 5
–––––– + –––––– + –––––– +
E O 5 7 E N 2 7 E N 4 9
4. 1 5 9 2 5. 1 7 8 2 6. 1 6 5 2
3 2 3 7 3 2 4 6 3 2 7 3
–––––– + –––––– + –––––– +
4 8 2 9 5 0 2 8 4 9 2 5
7. 1 5 6 4 8. 6 0 5 3 9. 1 3 6 2
7 4 8 2 1 3 8 2 5 7 6 4
–––––– + –––––– + –––––– +
9 0 4 6 7 4 3 5 7 1 2 6
Dari percobaan 1 sampai 9 diatas ternyata yang memenuhi syarat ialah no 5,6,7 dan 8. dapatkah anda mencari angka-angka lainnya yang memenuhi syarat? Silahkan mencoba dengn banyak kemungkinan.
2 Menyeberangi Sungai.
Permainan ini mungkin mengasyikkan karena permasalahan yang hendak dipecahkan sangatlah sederhana. Dua orang dewasa dan dua orang anak hendak menyebrangi sungai yang sangat luas. Ditepi sungai tertambat sebuah perahu. Perahu ini hanya dapat ditumpangi oleh 1 orang dewasa saja atau 2 orang anak.
Permasalahan :
Dapatkah anda menolong bagaimana cara menyebrang dengan menggunakan perahu diatas? Ingatlah perahu harus ada yang menaiki waktu kembali.
Jawabannya :
Untuk memudahkan memecahkan masalah ini, maka kita gunakan perumpamaan. Dua orang dewasa kita umpamakan dengan simbol D1 dan D2, sedangkan dua orang anak kita umpamakan dengan simbol A1 dan A2. Dari simbol-simbol tersebut kita dapat menjawab permasalahan pada soal tadi.
a. A1 dan A2 menyeberang terlebih dahulu, kemudian A1 kembali ketempat penyeberangan semula.
b. D1 menyeberang dengan menggunakan perahu dan A2 kembali dengan perahu tersebut.
c. Kemudian A1 dan A2 kembali menyeberang, A1 kembali lagi untuk menyeberangkan D2.
d. D2 menyeberang sendiri dan A2 kembali untuk menjemput A1.
e. A1 dan A2 kembali menyeberang.
Nah dari penjelasan diatas, maka dua orang dewasa dan anak-anak tersebut dapat menyeberang dengan selamat tanpa mempermasalahkan perahu yang ditumpangi dengan trik-trik yang sangat tepat.
3. Mengikuti jejak yang beraturan
7 1
36 10
32 18
25
Permasalahan
Pada lapangan/medan yang terdiri dari 36 kotak terdapat 7 jejak. Persyaratan penelusuran jejak ini ialah harus dilakukan dengan nomor yang urut artinya harus dimulai dari nomor 1 hingga nomor 36. cara penelusuran jejak dapat dilakukan menurut arah tegak artinya bergerak ke atas dan ke bawah. Juga boleh dilakukan kearah horizontal yaitu ke arah kanan dan kiri. Tetapi tidak dinolehkan penelusuran berarah diagonal yaitu membentuk sudut 45°.
Penyelesaiannya :
6 5 4 3 14 15
7 8 1 2 13 16
36 9 10 11 12 17
35 34 33 32 19 18
28 29 30 31 20 21
27 26 25 24 23 22
Teori Probabilitas
PROBABILITAS
Teori Klasik:
Teori klasik tentang probabilitas mendasari sebagian besar probabilitas dalam statistika. Secara singkat, teori ini menyatakan bahwa peluang berhasilnya suatu kejadian tertentu ditentukan oleh nisbah dari banyaknya keluaran kejadian tersebut terhadap banyaknya seluruh keluaran yang mungkin, yang dinyatakan di dalam rumus :
P(A)= (banyaknya keluaran yang diinginkan)/(banyaknya seluruh keluaran yang mungkin)
Teori klasik hanya menyinggung keluaran-keluaran yang saling berdiri sendiri atau lepas, yang berarti bahwa keluaran-keluaran tersebut bisa tidak terjadi pada waktu yang sama. Sebagai contoh, satu mata uang logam dapat gambar atau angka, tetapi tidak dapat menghasilkan gambar dan angka. Jadi keluaran angka dan keluaran gambar dinyatakan “saling berdiri sendiri/saling lepas” dalam satu kali pelemparan uang logam, seperti yang terjadi pada keluaran satu kartu as dan satu kartu king sebagai keluaran dari satu kali pengambilan kartu.
Teori Frekuensi Nisbi :
Teori probabilitas tentang frekuensi nisbi menyatakan bahwa jika suatu percobaan diulang dalam jumlah yang tak terhingga besarnya dan kekluaran tertentu terjadi dalam suatu persentase, maka persentase tertentu tersebut mendekati probabilitas keluarannya.
Sebagai contoh, jika sebuah mesi produksi menghasilkan 10.00 lembar kain dalam satu kali produksi, dan 1.000 diantaranya tidak sempurna atau rusak, maka probabilitas mesin tersebut menghasilkan kain yang tidak sempurna atau rusak sama dengan 1.000 dari 10.000 atau 0,1.
Probabilitas kejadian-kejadian Sederhana
Contoh : berapa probabilitas melemparkan tiga uang logam; Rp100,00;Rp500,00 secara bersamaan dan kesemuanya menghasilkan gambar?
Dengan menggunakan teori klasik, tentukan nisbah banyaknya keluaran yang diinginkan terhadap banyaknya seluruh keluaran. Tabel berikut mendaftar semua kemungkinan keluaran.
Berapa probabilitas dua dari tiga uang logam menghasilkan gambar? Sekali lagi,seluruhnya ada 8 keluaran, tetapi dalam hal ini hanya tiga keluaran yang diinginkan yakni keluaran 2,3 dan 5. Maka probabilitas dua dari tiga uang logam menghasilkan keluaran gambar adalah 3/8 atau 0,375.
Kejadian-kejadian seperti inilah yang sering disebut dengan probabilitas kejadian-kejadian sederhana.
Rabu, 08 April 2009
statistika deskriptif itu....?
STATISTIKA DESKRIPTIF ITU?
Apa itu statistika?
Statistika berarti bilangan – fakta-fakta, gambar-gambar atau informasi numeris.
Laporan-laporan produksi industry, rerata pukulan pada baseball, defisit pemerintah, dan lain sebagainya. Tepatnya, bilangan-bilangan ini disebut statistika deskriptif karena berupa data numeris yang menjelaskan fenomena. Statistika deskriptif sama sederhananya dengan jumlah anak dalam setiap keluarga di sebuah rukun tetangga atau sama rumitnya dengan laporan tahunan yang dikeluarkan oleh Departemen Keuangan.
Jenis-jenis statistika
Pada bab ini, kita akan membahas dua cara menggambarkan dua statistika deskriptif: numeris dan piktoral.
Statistika numeris
Statistika numeris adalah bilangan-bilangan, tetapi lebih jelasnya, beberapa bilangan lebih berarti daripada bilangan-bilangan yang lain. Sebagai contoh, jika kamu ditawari sebuah mobil dengan harga Rp10.000,00 dengan syarat kamu harus membeli mobil kedua, maka harga mobil yang kedua menjadi pertimbangan utama (harganya bisa Rp1.000.000.000,00 atau hanya Rp100.000.000,00). Untuk itu, rerata atau purata kedua harga ini menjadi statistika yang penting.
Statistika piktoral
Statistika piktoral adalah tampilan data numeris dalam bentuk gambar atau grafik. Menampilkan data dalam bentuk grafik bisa membuat informasi yang rumit dan membingungkan tampak lebih sederhana dan jelas. Jenis-jenis grafik yang biasa digunakan dalam statistika.
Metode inferensi statistik
Statistika juga merupakan sebuah metode, yaitu suatu cara bekerja dengan bilangan-bilangan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan membingungkan tentang fenomena manusia atau non-manusia. Pertanyaan-pertanyaan yang bisa dijawab dengan menggunakan “metode” statistika banyak dan beragam.
Untuk tujuan kita, statistika adalah kumpulan bilangan dan /atau gambar maupun sebuah proses: seni dan ilmu membuat perkiraan yang tepat tentang keluaran yang melibatkan bilangan-bilangan.
Jadi, pada dasarnya, tujuan statistika adalah
- Menjelaskan himpunan-himpunan bilangan
- Membuat inferensi yang tepat tentang kelompok-kelompok berdasarkan informasi yang tidak lengkap.
Langkah-langkah dalam proses
Membuat perkiraan yang tepat memerlukan landasan kerja. Seorang ahli statistic harus melakukan langkah-langkah berikut ini untuk membuat praduga yang lebih baik.
- Mengumpulkan data (informasi numeris).
- Menyusun data (kadang-kadang dalam sebuah piktorial).
- Menganalisis data (dengan menggunakan uji nyata dan seterusnya).
Langganan:
Postingan (Atom)